Herr Oberst (herr_0berst) wrote,
Herr Oberst
herr_0berst

о логике, арифметике и здравом смысле (или отсутствии оного)

В вопросе о литро-людях и чашко-кусках точки на «ё» расставил товарищ lex_kravetski, статью которого я сюда беззастенчиво и скопирую:

Как выглядит деградация образования в картинках. К школьным учебникам по арифметике
Алексей Кравецкий | 03 мая 2013 | [ via Однако ]

Я очень рад, что мы наконец-то достигли того момента развития общества, когда моя саркастическая фраза, произносимая мной в ответ на требования разъяснить что-то сложное тому, кто даже простого, лежащего в основе оного сложного, ещё не понимает, из шутки превратилась в обыденную реальность. Я, знаете, говорил: «да тут, блин, объяснение с арифметики начинать придётся», будучи уверенным, что хоть её-то все знают, а от того фраза звучит особенно смешно.

Повод для шутки канул в Лету, и теперь объяснение, начинающееся с арифметики, стало суровой необходимостью. Какие там «теории эволюции» и «теории вероятностей» — арифметика первого класса советской школы уже находится выше уровня понимания изрядной части граждан. Это были цветочки, когда академик Фоменко писал ерунду про историю и лингвистику. Теперь профессора могут не стесняясь писать ерунду про математику и всё равно каждый второй не заметит подвоха.

Оно и понятно: «наука», — ведь, как известно, — «не может дать ответа на все вопросы». А потому, очевидно, не нужна вообще. Общественные отношения наверняка спрогрессируют просто потому, что граждане будут «работать над собственной душой», каковая работа сводится к повторению тезиса о необходимости означенной работы. Математика же, как и вся остальная наука, только мешает, отвлекая от повторения тезиса.

Поэтому прошу меня простить, что и я тоже немного отвлеку читателей от работы над душой, самую малость порассуждав о сути некоторых фрагментов математики младших классов, а также некоторых фрагментов математики старших. Разумеется, тем, кто в это самую секунду борется с мировым злом путём сетования на публичных ресурсах по вопросам наличия мирового заговора или иным способом старается изменить общественные отношения сами собой, читать дальше не имеет смысла. Там, дальше будет ненужное и неинтересное: ну там, про культуру мышления, про начала науки, в общем, всякая бесполезная ерунда.

Я хотел бы рассказать вам про два замечательных скриншота, про которые я уже пытался рассказать , не подозревая, что очевидное для школьника двадцать лет назад теперь уже не является очевидным даже для многих взрослых дяденек и тётенек.

Если вы, как и я, по недомыслию тратили своё время на изучение всевозможных наук, то вы сразу же ужаснётесь потрясающей воображение безграмотности написанного на втором скриншоте и идиотизму первого. Однако я всё-таки предлагаю вам прочитать статью до конца — хотя бы с целью проверить, не упустили ли вы чего-то в данной теме и не упустил ли что-то я.

На первом скриншоте — результат проверки задания безвестным учителем. На втором — выдержка из книги «Обучение решению задач в начальной школе» за авторством профессора (!) Мурманского педагогического университета, доктора (!) педагогических наук Белошистой А.В.

Как мы видим, грамотный педагог-методист, кстати, получатель целого набора грантов, показывает потенциальным учителям потенциальных учеников правильную последовательность действий для решения определённого сорта задач.

Хорошо ли это или плохо? Многие подумают, что это плохо — ну, поскольку очень плохо давать последовательность действий, которая, как и сопутствующие ей разъяснения, искажает смысл стоящей за всем этим теории, противоречит будущему материалу предмета, да и собственным же предыдущим абзацам. Однако всё не так.

На самом деле методист приучает детей к суровым реалиям мира. Ведь и в дальнейшем им будут даваться нелогичные, противоречивые и антинаучные инструкции, которые в обязательном порядке надо будет выполнять. Эти инструкции напишут соседи учеников по парте — тоже мастерски подготовленные к жизненным реалиям, — а то и сами эти ученики. Если бы они учились так, как, например, я, им бы очень тяжело пришлось в подобного рода случаях, благодаря же приведённой на скриншотах методике они будут к ним подготовлены. Столь ценный навык нельзя переоценить: ведь чем меньше логики в используемых методах, тем лучше работается над душой. Поэтому я выражаю своё всецелое одобрение данному подходу, а дальше лишь старчески побрюзжу от имени никому не нужной науки математики.

Так вот, в науке математике есть весьма странная штука, называемая «определением». Странна эта штука тем, что, в отличие от, например, инструкции, пытается дать полное описание некоторого понятия, но при этом не сделать описание избыточным. То есть, изложить ровно тот набор сопутствующих терминов, а также их взаимоотношений, которого достаточно для понимания определяемого термина. При этом всегда остаётся множество способов определить этот термин другими словами, но эти способы не включаются в определение.

Рассмотрим для примера определение из Большой Советской Энциклопедии. Точнее, его фрагмент.

Умножение целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b третье число с, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а, так что ab = а + а +… + а (b слагаемых).

(источник)

Или вот ещё одно определение — из Большого Энциклопедического Словаря.

Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями.

(источник)

Как мы видим, в двух источниках в качестве определения приводятся разные тексты. Который же из них является правильным?

Дело в том, что правильными являются оба, ибо приведённые в них определения сводимы друг к другу. То есть, существует некоторый корректный набор операций, позволяющий доказать, что первое определение определяет ровно то же самое, что и второе.

В данном случае сводимость очевидна — фактически определения отличаются лишь заменой некоторых слов и оборотов на синонимы и порядком изложения. Однако может быть и более хитрый случай, о котором пойдёт речь чуть позже.

Пока же взглянем на тексты определений в плане наличия в них излишеств. Не написано ли тут что-то, что можно было бы выкинуть без потери смысла? Может быть, авторы зачем-то удлинили определения, а можно было бы написать короче?

Например, так?

a*b означает сумму b слагаемых, каждое из которых — a. Это мы называем «умножением».

Чем не вариант? Выкинуты ненужные слова, типа «…относящее числам a и b третье число c…». Разве же не проще так?

Нет, не проще. В «простом» варианте пропал смысл определения. Ибо в «непростых» определениях говорилось вовсе не о том, что для суммы одинаковых слагаемых есть укороченный вариант записи, который мы называем «умножение», а именно о том, что умножение — это отдельная операция, результат которой в одном частном случае можно вычислить как сумму одинаковых слагаемых — например, как сумму b штук слагаемых, каждое из которых a.

Краткая запись — это частный случай. Который имеет место быть только тогда, когда мы перемножаем натуральные числа (то есть, целые положительные). Причём, даже в этом случае суммирование нам лишь «позволяет по двум числам а и b найти третье число ab».

При помощи такой записи мы можем однозначно и неизбыточно определить понятие «умножение» для множества натуральных чисел, однако это не будет единственным определением способа нахождения результата. Способов может быть сколько угодно, определение же лишь только говорит нам, что любой результат будет правильным тогда и только тогда, когда он равен сумме b слагаемых, каждое из которых — a.

Для определения мы могли бы выбрать и какой-то другой способ получения результатов.

Например, такой. Если у нам надо вычислить результат умножения a на b, где a и b — натуральные числа, то мы рисуем a палочек, уменьшаем b на единицу, снова рисуем a палочек, снова уменьшаем b на единицу. И так до тех пор, пока b не станет равным нулю. После этого мы, двигаясь слева направо, пишем под первой палочкой «1» и под каждой следующей палочкой следующее натуральное число. Число под последней палочкой будет результатом операции.

То есть, нам надо узнать, чему равно 2*3. Поехали. Первый этап.

Палочки

значение b в конце данного этапа

||

2

||||

1

||||||

0

Второй этап.

|

|

|

|

|

|

1

2

3

4

5

6

Ответ — 6.

Крутовато? О да. Не самый простой способ определить операцию. Но работает. И самое главное, он сводим к тому способу, который использовался в цитируемых определениях.

Но что нам это всё даёт? Это даёт нам понимание того, что суть операции и способ вычисления результата — несколько разные вещи.

Теперь спросим себя, а надо ли это излагать детям? Не будет ли им слишком сложно и всё такое? Не проще ли было бы как-то иначе?

Вообще говоря, есть некоторые эксперименты , показывающие, что детям проще понять суть операции вообще строго в абстрактном виде — без счёта палочек и т.п. Но даже если мы не доверяем результатам этих экспериментов, то всё равно понимание математических действий закладывается через связку разных способов конкретного счёта (счёта палочек, суммирования слагаемых и т.п.) и его абстрактной записи.

Счёт палочек иллюстрирует абстракцию, а не заменяет её собой. И тут крайне важно добиться именно понимания абстракции на примерах, что, к счастью, детям даётся в некотором смысле даже проще, чем в своё время не понявшим абстракции взрослым.

В этом плане первое, что должно закрепиться в голове у детей: результат умножения — один и тот же, независимо от способа, которым мы его получили. Мы можем просуммировать a раз второй множитель, можем b раз просуммировать первый, можем a раз взять b палочек и пересчитать их, можем даже набрать и пересчитать палочки моим извращённым способом, но каждый раз мы получим один и тот же результат. И каждый вариант подсчёта будет правильным. Потому что они — суть частные случаи некоторой абстрактной операции.

Пользуясь аналогиями, когда ребёнка обучают слову «стул», ему показывают разные стулья (в том числе, нарисованные), а не один и тот же, запрещая ему назвать «стулом» хоть что-то, кроме вот этого конкретного стула.

Если некто, по примеру педагога-методиста, чьему перу принадлежит текст со второго скриншота, или же по примеру преподавателя с первого скриншота настаивает на том, что варианты неэквивалентны, то он приучает ребёнка к совершенно неправильному пониманию математики. Это нельзя оправдать «простотой изложения» или чем-то подобным: это просто ложная информация. Это вбивание в голову вредного, что потом следующим учителям придётся из головы мучительно выбивать. И хорошо ещё если такие найдутся.

Весь педагогический опыт гласит: переучивать сложнее, чем учить с нуля. Поэтому на раннем этапе можно выбрать упрощённое объяснение или даже частный случай общей закономерности, но они в обязательном порядке должны быть правильными и в этой «упрощённой» области и в более широкой — как частный случай, — чтобы последующие темы расширяли всё это, а не отвергали, не заставляли сначала забыть, а потом учиться заново.

Если переучить не получится или вообще не найдётся учителя для переучивания, то потом мы будем иметь то, что имеем сейчас: кучу народа, не понимающую, что

2*3 = 3*2 = 2 + 2 + 2 = 3 + 3

И что тут записан не просто случайный результат, верный для особого набора чисел, это — разные записи одного и того же. Причём, такая закономерность верна только для натуральных чисел. Если не понять этого, то алгеброй потом уже заниматься не получится.

Учитель же, зачёркивая «9*2» и выводя своей рукой сверху «2*9» просто дезинформирует своего ученика. Ему, прочитавшему рекомендацию математически безграмотного профессора-методиста, кажется, что он тут просто следует букве определения и принуждает к тому же ученика, «чтобы было проще». Реально же он сам не понимает и не даёт понять ученику смысл того, что вообще такое «определение». Ну и заодно того, что есть «умножение».

Человеку интуитивно понятно, что «взять два раза по три» и «взять три два раза» — это одно и то же. Просто переставлены слова. Но зачёркивая математическую запись этой мысли, учитель как бы говорит ученику: «а в математике это ни фига не так!». Хотя оно именно так. Более того, через месяц того же ученика будут заставлять выучить, что «от перестановки множителей произведение не меняется». То-то ему будет «просто понять», как это за месяц математика вдруг так резко переменилась. «Что я пропустил?». «Где, блин, логика?».

Сама профессор-методист пишет: «анализ рисунка показывает, что решение задачи может быть записано, как…», — и тут же, в следующих абзацах начинает настаивать на том, что оно может быть записано так и только так, а те, кто допускает иной способ — заблуждаются. Где, блин, логика?

На рисунке мы видим пять квадратиков с двумя точками внутри. Здравый смысл нам подсказывает абсолютно верное с точки зрения математики заключение: результат — по две точки в пяти квадратиках (2*5) или, что то же самое, пять квадратиков, в каждом из которых две точки (5*2). Именно потому ведь и столь очевидно правило о неизменности результата при перестановки множителей — оно, вон, на любой картинке без труда опознаётся. Но нет, оказывается, правильно видеть на этой иллюстрации именно 2*5, а кто видит что-то другое, тот ошибается. Где, блин, логика, размещать иллюстрацию, опровергающую последующие умозаключения, на которых настаивает автор?

Написано «фермер продал каждому из 9 покупателей по 2 литра молока». Почему то же самое можно записать как «фермер продал по 2 литра молока каждому из 9 покупателей» и условие от этого не изменится, но правильность решения вдруг меняется, если вместо 2*9 написать 9*2? Где, блин, логика?

Разумеется, с целью подготовки к жестокому реальному миру и с целью просто поржать над тем, как дети мучаются, ровно так и надо их учить. Надо заставить учеников выучить, что множители следует писать в строго определённом порядке — сначала куски, а потом чашки, сначала литры, а потом покупатели, если же наоборот, то это ошибка — и после этого сообщить, что от перестановки множителей не меняется результат. А ещё чуть позже перейти к алгебре, в которой почему-то обычно пишется 2*x = 4, а не x*2 = 4. Так же будет гораздо смешнее.

Ну да ладно. От неправильной трактовки определений и циничного отрицания тождественности результата при перестановке множителей перейдём ко второй части повествования — размерности.

«Размерность» профессор-методист почему-то называет «наименованием». Видимо, это тоже какой-то прогрессивный способ обучить детей математике — дать им неиспользуемый в науке и при этом интуитивно непонятный термин. Подозреваю, таким образом ребёнка продолжают готовить к реальному миру, где тщательно работающие над душой люди называют корпус компьютера «процессором», а монитор — «компьютером». Пусть привыкает.

Так вот, смысл понятия «размерность» довольно прост, однако благодаря тому, что его не понимают профессора-методисты, его теперь не понимают и граждане тоже.

Размерность это те единицы измерения, которые приписываются к числу и в совокупности с ним образуют «размерную величину». 3 рубля, 100 км, 50 ккал, 60 км/ч — это всё размерные величины. С размерностью, соответственно, «рубль», «километр» и так далее.

Смысл размерности в том, что она задаёт дополнительные соотношения между величинами. Так, если мы напишем 100 + 1, то результатом будет 101. Если же мы напишем 100 см + 1 м, то результатом будет 2 метра или же 200 сантиметров.

Если напишем , то результатом будет 10 км/ч. А если напишем 100 см + 200 кг, то результатом будет «мы где-то ошиблись».

Пространство размерных величин по своим математическим свойствам, как легко видеть, отличается от пространства безразмерных величин — например, от пространства натуральных чисел. Это знает любой человек с нормальным образованием. Однако профессор-методист, видимо, не знает. Как, видимо, не знает почему в определении умножения написано «вот этот способ расчёта верен для натуральных чисел». Размерные величины не являются натуральными числами — натуральными могут являться лишь численные значения величин, без размерности.

«100 метров» — это не натуральное число. Натуральное тут только «100», без «метров». И таким образом для размерных величин способ представления произведения через сумму в общем случае уже не является верным.

10 км/ч * 2 ч — это вовсе не «10 км/ч + 10 км/ч». Так «упрощать» нельзя даже на раннем этапе — оно ведь фактически неверно.

Благодаря вышеописанным «учителям» и «методистам» понятие «размерная величина» толком не понимает уже чуть ли не половина населения. Поэтому граждане на голубом глазу верят рассуждениям вида «если написать 2*5, то в ответе будут куски, а если 5*2 — то чашки». Профессор-методист тут умудряется допустить сразу аж две ошибки.

Для начала он забывает про правила операций с размерными величинами. Довольно простые, кстати, правила.

1. Складывать или вычитать можно только величины, имеющие одинаковую размерность. При этом, если величины имеют сводимые друг к другу размерности, то перед сложением или вычитанием величины следует преобразовать к одной размерности. Именно она и будет размерностью результата.

Так 100 кг и 200 кг можно смело складывать — размерностью результата будет «кг». 100 м и 100 см можно складывать, но сначала следует преобразовать обе величины либо к «м», либо к «см», либо к какой-то ещё размерности расстояния. А 5 кг и 2 м складывать вообще нельзя — результат и его размерность не определены.

2. При умножении размерных величин размерность результата равна произведению размерностей множителей.

10 ч * 100 чел = 1000 чел*ч

3. При делении размерных величин размерность результата равна частному размерностей
 

 

Ну и так далее. Никакой особой мистики. Грубо говоря, есть операция над размерными величинами. Мы выносим численную часть выражения в одни скобки, размерности — во вторые, сохраняя в обоих частях все математические операции, и вот он результат.

(10 ч * 100 чел) = (10 * 1000) (ч*чел) = 1000 чел*ч

Казалось бы, куда проще? Но нет. У профессора-методиста свой путь. В своих рассуждениях он вводит размерность «куски», размерность «чашки» и странное правило, что при умножении размерных величин результат имеет размерность первой.

В математике мы бы имели:

2 кус * 5 чаш = (2*5) (кус*чаш) = 10 кус*чаш

Но согласно пониманию методиста, ни фига, всё не так. Он думает, что

2 кус * 5 чаш = 10 кус

5 чаш * 2 кус = 10 чаш

Ты, ученик, не можешь найти логику? А нефиг её искать! Есть инструкция — выполняй. Будь готов к тому, что в военное время синус может достигать трёх!

Хотя, извините, я ошибся. На самом деле «ученику так гораздо проще понять логику вычислений». Совершенно точно, гадом буду: гораздо проще понять логику, когда её нет.

Поднаторевшие в методах современной альтернативной математики граждане, сразу же пускаются в рассуждения, построенные на альтернативной логике профессора-методиста. Что, де, «2*5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2», а «5*2 = 5 + 5». Чем повторяют вторую ошибку методиста. Ибо в виде подобного рода сумм можно представлять только произведения натуральных чисел. Натуральных чисел, но не чисел с приписанными к ним «кусками», «литрами» и так далее.

Если даже мы на время абстрагируемся от введённых профессором «куско-чашек», которые по только что придуманным им правилам в зависимости от порядка множителей превращаются то в «куски», то в «чашки», и будем считать количество чашек безразмерной величиной, означающей «вот столько раз», то и тут «разложение в сумму» не будет иметь альтернатив.

Мы действительно можем записать

2 кус * 5 = 2 кус + 2 кус + 2 кус + 2 кус + 2 кус

Но даже если переставим множители между собой, то никак не получим, что

5 * 2 кус = 5 + 5

Размерность не может вот просто так взять и исчезнуть. Даже если мы её не пишем в явном виде, а «держим в памяти». Единственный вариант тут

5 * 2 кус = 5 * 1 кус + 5 * 1 кус

Либо же

5 * 2 кус = (5 + 5) (кус) = 10 кус

Наконец мы могли бы записать всё это и вот так

5 чаш * 2 кус/чаш = (5 * 2) (чаш * кус/чаш) = (5 + 5) кус = 10 кус

«Простой суммой» при этом является только вариант с суммированием двоек, но и все остальные варианты тоже корректны с точки зрения математики. Некорректен лишь вариант профессора-методиста (плюс, сочувствующих ему граждан) и прицепленные к нему рассуждения.

Хотя, конечно, если ставится цель, заодно с законом перестановки множителей помешать ученикам понять ещё и смысл операций с размерностью, то всё правильно делается, так и надо. Неясно только, к чему методист в конце пишет об «осмысленном подходе к решению» — подход, имеющий внутренние противоречия, никак нельзя назвать «осмысленным».

Ведь если мы «помним» размерность, то должны вести расчёты так, будто оперируем размерными величинами. При этом должны выполняться все закономерности операций с размерностью. Перепутать «куски» с «чашками» тут никак нельзя, а потому любой порядок множителей будет приводить только к одному варианту суммы слагаемых. Если же мы не учитываем размерность, то должны выполняться закономерности операций с числами, а потому и порядок множителей, и способ вычисления результата нас волновать не должен.

Кажется, что для детей операции с размерностями будут слишком сложны́? ОК. Не вводите пока размерности.

Размерности не сложны́? ОК. Вводите, но по нормальным правилам, а не по каким-то альтернативным, нелогичным и от того нигде не использующимся.

Кому-то кажется, что строго заданная последовательность операций помогает ученику на первом этапе лучше понять суть решения задач? Вполне возможно. Проблема не в этом. Проблема в том, что здесь мы наблюдаем подход, противоречащий дальнейшему курсу математики, лишённый внутренней логики, вводящий свои идиотские законы проведения операций с размерностями и свои частные определения. Вдобавок в рамках этого подхода отвергаются совершенно верные решения и их результаты. Чему такой подход помогает? Какому такому «пониманию»?

Это — «новый, прогрессивный способ объяснять»? О нет, пишите честно: это способ подготовить детей к жизни в суровом мире, где уровень научного знания среди широких масс уже откатился к девятнадцатому веку. Если не дальше.
 

Tags: education, panoptikos, russia
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments